7. Докажите, что выражение $$x^2 - 6x + 13$$ принимает положительные значения при всех значениях $$x$$.

$$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)^2 + 4$$ Так как $$(x - 3)^2$$ всегда неотрицательно для любого $$x$$ (квадрат любого числа больше или равен нулю), то $$(x - 3)^2 \ge 0$$. Следовательно, $$(x - 3)^2 + 4 \ge 4 > 0$$ для любого $$x$$. Значит, выражение $$x^2 - 6x + 13$$ всегда принимает положительные значения. **Доказано**