4. Докажите, что выражение a2-3 5a-1 (a-2) (a-2)4 + a+6 (2-2)4 при всех а≠2 принимает положительные значения.

4. Докажите, что выражение $$\frac{a^2-3}{(a-2)^4} - \frac{5a-1}{(a-2)^4} + \frac{a+6}{(a-2)^4}$$ при всех a≠2 принимает положительные значения.

$$\frac{a^2-3}{(a-2)^4} - \frac{5a-1}{(a-2)^4} + \frac{a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-3 - 5a+1 + a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2 - 4a + 4}{(a-2)^4} = \frac{(a-2)^2}{(a-2)^4} = \frac{1}{(a-2)^2}$$

Т.к. $$(a-2)^2$$ всегда больше нуля, то и $$\frac{1}{(a-2)^2}$$ всегда больше нуля при a≠2.

Ответ: Выражение принимает положительные значения при всех а≠2.