5. Докажите, что значение выражения 2²⁹ + 10³ делится нацело на 18.

Проверим делимость на 2:

• \(2^{29}\) делится на 2, так как это степень двойки.
• \(10^3 = 1000\) делится на 2, так как это четное число.
• Сумма двух чисел, делящихся на 2, также делится на 2.

Проверим делимость на 9:

• \(2^{29} = 2^{3 \cdot 9 + 2} = (2^3)^9 \cdot 2^2 = 8^9 \cdot 4\).
• Заметим, что \(8 \equiv -1 \pmod{9}\), то есть 8 дает остаток -1 при делении на 9.
• Тогда \(8^9 \equiv (-1)^9 \pmod{9} \equiv -1 \pmod{9}\).
• Значит, \(8^9 \cdot 4 \equiv -1 \cdot 4 \pmod{9} \equiv -4 \pmod{9}\).
• \(10^3 = 1000\). При делении на 9 дает остаток 1 (сумма цифр равна 1).
• Тогда \(2^{29} + 10^3 \equiv -4 + 1 \pmod{9} \equiv -3 \pmod{9}\).

Мы видим, что \(2^{29} + 10^3\) не делится на 9, так как остаток не равен 0.

Возможно в условии ошибка и имелось в виду \(2^9\), тогда:

Проверим делимость на 9 для \(2^9\):

• \(2^9 = 512\).
• Тогда \(2^9 + 10^3 = 512 + 1000 = 1512\).
• Сумма цифр \(1 + 5 + 1 + 2 = 9\), значит, делится на 9.

Так как \(1512\) делится на 2 и на 9, то делится и на 18.