5. Докажите, что значение выражения 3⁹ – 4³ делится на целое на 21.

5. Доказательство делимости выражения:

Необходимо доказать, что 3⁹ – 4³ делится на 21.

Рассмотрим выражение 3⁹ – 4³.

Заметим, что 4³ = (2²)³ = 2⁶ = (2³) ² = 8³.

Тогда выражение можно переписать как 3⁹ – 8³.

Представим 3⁹ как (3³)³ = 27³.

Теперь выражение имеет вид 27³ – 8³.

Используем формулу разности кубов: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).

Применим эту формулу к 27³ – 8³:

27³ – 8³ = (27 – 8)(27² + 27 * 8 + 8²) = 19 * (729 + 216 + 64) = 19 * 1009.

Заметим, что 21 = 3 * 7.

Значит, нам нужно проверить, делится ли 19 * (729 + 216 + 64) на 21.

Далее, заметим, что 27 - 8 = 19. Таким образом можно переписать выражение как:

(27-8)((27)²+27*8+(8)²) = 19(729+216+64) = 19*1009

Однако, можно заметить, что выражение можно представить как разность кубов, где 27 = 21 + 6 и 8 = 7 + 1.

Но лучше всего разложить через разность кубов непосредственно 3⁹ – 4³.

Рассмотрим выражение 3⁹ – 4³ = (3³)³ – (4)³ = 27³ – 4³ = (27 – 4)(27² + 27 * 4 + 4²) = 23 * (729 + 108 + 16) = 23 * 853.

Заметим, что 853 = 21 * 40 + 13.

Однако есть более простое решение:

Выражение 3⁹ – 4³ = 3⁹ – 64 = 19683 – 64 = 19619.

Проверим, делится ли 19619 на 21.

19619 / 21 = 934.238...

Таким образом, выражение не делится на 21.

Однако, если в условии было 3³ – 4³:

3³ - 4³ = 27 - 64 = -37

И тоже не делится на 21.