5. Докажите, что значение выражения 1 3√5+1 - 1 3√5-1 есть число рациональное.

Докажем, что значение выражения $$\frac{1}{3\sqrt{5}+1} - \frac{1}{3\sqrt{5}-1}$$ есть число рациональное:

$$\frac{1}{3\sqrt{5}+1} - \frac{1}{3\sqrt{5}-1} = \frac{(3\sqrt{5}-1)-(3\sqrt{5}+1)}{(3\sqrt{5}+1)(3\sqrt{5}-1)} = \frac{3\sqrt{5}-1-3\sqrt{5}-1}{(3\sqrt{5})^2-1^2} = \frac{-2}{9 \cdot 5 - 1} = \frac{-2}{45-1} = \frac{-2}{44} = -\frac{1}{22}$$.

Число $$-\frac{1}{22}$$ является рациональным числом.

Ответ: Доказано, что данное выражение есть число рациональное.