5. Докажите, что значение выражения 1/1-3V5 + 1/1+3V5 есть число рациональное.

5. Докажите, что значение выражения $$ \frac{1}{1-3\sqrt{5}} + \frac{1}{1+3\sqrt{5}} $$ есть число рациональное.

Сложим дроби:$$\frac{1}{1-3\sqrt{5}} + \frac{1}{1+3\sqrt{5}} = \frac{1+3\sqrt{5}+1-3\sqrt{5}}{(1-3\sqrt{5})(1+3\sqrt{5})} = \frac{2}{1 - (3\sqrt{5})^2} = \frac{2}{1-9 \cdot 5} = \frac{2}{1-45} = \frac{2}{-44} = -\frac{1}{22}$$.

$$ -\frac{1}{22} $$ - рациональное число, так как его можно представить в виде $$ \frac{m}{n} $$, где $$ m $$ и $$ n $$ - целые числа, и $$ n
eq 0 $$.

Ответ: Выражение $$ \frac{1}{1-3\sqrt{5}} + \frac{1}{1+3\sqrt{5}} $$ есть число рациональное.