1267. Докажите, что значения многочлена х⁴ + 2x³ - x² - значениях х кратны числу 24.

1267. Докажите, что значения многочлена \(x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x\) кратны числу 24.

1. Разложим многочлен на множители: \[x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = x(x^3 + 2x^2 - x - 2)\] \[x(x^3 + 2x^2 - x - 2) = x[x^2(x + 2) - 1(x + 2)]\] \[x[x^2(x + 2) - 1(x + 2)] = x(x + 2)(x^2 - 1)\] \[x(x + 2)(x^2 - 1) = x(x + 2)(x - 1)(x + 1)\] \[x(x + 2)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)x(x + 1)(x + 2)\]
2. Получили произведение четырех последовательных целых чисел.
3. Среди четырех последовательных целых чисел обязательно есть два четных числа и одно число, кратное 3.
4. Одно из четных чисел делится на 2, а другое на 4.
5. Следовательно, произведение делится на 2 * 4 * 3 = 24.
6. Таким образом, \((x - 1)x(x + 1)(x + 2)\) кратно 24.

Ответ: Значения многочлена \(x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x\) кратны числу 24.