951. Докажите, что значения многочлена x³ – x при целых значениях х кратны числу 6.

Докажем, что $$x^3 - x$$ кратно 6 при целых значениях $$x$$.

Представим выражение в виде:

$$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) = (x - 1)x(x + 1)$$

Это произведение трех последовательных целых чисел.

Среди трех последовательных целых чисел обязательно найдется хотя бы одно четное число, то есть делящееся на 2.

Также среди трех последовательных целых чисел обязательно найдется ровно одно число, делящееся на 3.

Таким образом, произведение $$(x - 1)x(x + 1)$$ делится и на 2, и на 3. Поскольку 2 и 3 - взаимно простые числа, то произведение делится на $$2 \times 3 = 6$$.

Ответ: Значение многочлена $$x^3 - x$$ при целых значениях $$x$$ кратно числу 6.