Докажите неравенство: 4) \((4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)>3(p^2+p)\).

Раскроем скобки в левой части:

\[(4p-1)(p+1)=4p^2+3p-1,\]

\[(p-3)(p+3)=p^2-9.\]

Тогда

\[(4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)=4p^2+3p-1-(p^2-9)=3p^2+3p+8.\]

Сравним с правой частью:

\[3p^2+3p+8>3p^2+3p=3(p^2+p),\]

поскольку \(8>0\). Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: неравенство верно при всех значениях \(p\).