Докажите неравенство: (4x - 1)(4x + 1) - 16(x - 8) > 0

Пошаговое решение:

1. Раскроем первую пару скобок, используя формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
   \[ (4x)^2 - 1^2 - 16(x - 8) > 0 \]
   \[ 16x^2 - 1 - 16(x - 8) > 0 \]
2. Раскроем вторую пару скобок:
   \[ 16x^2 - 1 - 16x + 128 > 0 \]
3. Приведем подобные слагаемые:
   \[ 16x^2 - 16x + 127 > 0 \]
4. Найдем дискриминант квадратного трехчлена:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 127 = 256 - 8128 = -7872 \]
5. Так как дискриминант отрицательный (D < 0) и коэффициент при x² положительный (a = 16 > 0), то парабола y = 16x² - 16x + 127 всегда находится выше оси Ox. Следовательно, неравенство 16x² - 16x + 127 > 0 верно для любого значения x.

Ответ: Неравенство доказано.