Докажите неравенство: x³ - 6x + 18 > x(x - 2)(x + 1)

Пошаговое решение:

1. Раскроем правую часть неравенства:
   \[ x(x^2 + x - 2x - 2) = x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x \]
2. Подставим раскрытую скобку в исходное неравенство:
   \[ x^3 - 6x + 18 > x^3 - x^2 - 2x \]
3. Перенесем все члены в левую часть, меняя знаки:
   \[ x^3 - 6x + 18 - x^3 + x^2 + 2x > 0 \]
4. Приведем подобные слагаемые:
   \[ x^2 - 4x + 18 > 0 \]
5. Найдем дискриминант квадратного трехчлена:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 16 - 72 = -56 \]
6. Так как дискриминант отрицательный (D < 0) и коэффициент при x² положительный (a = 1 > 0), то парабола y = x² - 4x + 18 всегда находится выше оси Ox. Следовательно, неравенство x² - 4x + 18 > 0 верно для любого значения x.

Ответ: Неравенство доказано.