Докажите неравенство: x²(x² - 4) − x²(x + 6)(x − 6) > -68

Пошаговое решение:

1. Раскроем первую пару скобок:
   \[ x^4 - 4x^2 \]
2. Раскроем вторую пару скобок, используя формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):
   \[ x^2(x^2 - 6^2) = x^2(x^2 - 36) = x^4 - 36x^2 \]
3. Подставим раскрытые скобки в исходное неравенство:
   \[ (x^4 - 4x^2) - (x^4 - 36x^2) > -68 \]
4. Раскроем внешнюю скобку, меняя знаки:
   \[ x^4 - 4x^2 - x^4 + 36x^2 > -68 \]
5. Приведем подобные слагаемые:
   \[ 32x^2 > -68 \]
6. Разделим обе части на 32:
   \[ x^2 > -68 / 32 \]
   \[ x^2 > -17 / 8 \]
7. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (x² ≥ 0), то неравенство x² > -17/8 верно для любого действительного значения x.

Ответ: Неравенство доказано.