20. Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и высоте, опущенной на гипотенузу.

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1, где углы B и B1 прямые, AC = A1C1 (гипотенузы равны), и высоты BD и B1D1 опущены на гипотенузы и равны (BD = B1D1). Нужно доказать, что треугольники ABC и A1B1C1 равны. 1. **Площадь треугольника:** Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: * Через катеты: S = (1/2) * AB * BC * Через гипотенузу и высоту: S = (1/2) * AC * BD 2. **Равенство площадей:** Так как AC = A1C1 и BD = B1D1, то площади треугольников ABC и A1B1C1 равны. 3. **Выражение катетов:** Из формулы площади выразим произведение катетов: * AB * BC = AC * BD * A1B1 * B1C1 = A1C1 * B1D1 Так как AC = A1C1 и BD = B1D1, то AB * BC = A1B1 * B1C1. 4. **Теорема Пифагора:** По теореме Пифагора: * AB^2 + BC^2 = AC^2 * A1B1^2 + B1C1^2 = A1C1^2 Так как AC = A1C1, то AB^2 + BC^2 = A1B1^2 + B1C1^2. 5. **Решение системы уравнений:** Получили систему уравнений: * AB * BC = A1B1 * B1C1 * AB^2 + BC^2 = A1B1^2 + B1C1^2 Решим её. Пусть AB = x, BC = y, A1B1 = z, B1C1 = w. Тогда: * xy = zw * x^2 + y^2 = z^2 + w^2 Из первого уравнения: y = zw/x. Подставим во второе уравнение: x^2 + (zw/x)^2 = z^2 + w^2 x^4 + z^2w^2 = x^2z^2 + x^2w^2 x^4 - x^2(z^2 + w^2) + z^2w^2 = 0 Это биквадратное уравнение относительно x. Решая его, получим, что x = z или x = w. 6. **Вывод:** * Если x = z (AB = A1B1), то y = w (BC = B1C1). Значит, треугольники равны по двум катетам. * Если x = w (AB = B1C1), то y = z (BC = A1B1). Значит, треугольники равны по двум катетам (просто катеты поменялись местами). **Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны.**