3*. Докажите существование иррациональных чисел.

Иррациональные числа - это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде отношения двух целых чисел, то есть в виде дроби $$\frac{p}{q}$$, где p и q - целые числа, и q ≠ 0. Докажем существование иррациональных чисел на примере $$\sqrt{2}$$. Доказательство от противного: 1. Предположим, что $$\sqrt{2}$$ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби: $$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$, где p и q - целые числа, не имеющие общих делителей (дробь несократима). 2. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$2 = \frac{p^2}{q^2}$$ 3. Умножим обе части на $$q^2$$: $$2q^2 = p^2$$ 4. Из этого следует, что $$p^2$$ - четное число (так как оно равно $$2q^2$$). 5. Если $$p^2$$ четное, то и p должно быть четным (так как квадрат нечетного числа - нечетное число). Следовательно, p можно представить как $$p = 2k$$, где k - некоторое целое число. 6. Подставим $$p = 2k$$ в уравнение $$2q^2 = p^2$$: $$2q^2 = (2k)^2$$ $$2q^2 = 4k^2$$ 7. Разделим обе части на 2: $$q^2 = 2k^2$$ 8. Из этого следует, что $$q^2$$ - четное число (так как оно равно $$2k^2$$). 9. Следовательно, и q должно быть четным. 10. Итак, мы пришли к выводу, что и p, и q - четные числа. Это означает, что они оба делятся на 2, что противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима. 11. Так как наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, $$\sqrt{2}$$ не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел и является иррациональным числом. Вывод: Мы доказали, что $$\sqrt{2}$$ является иррациональным числом, что подтверждает существование иррациональных чисел.