3. Докажите тождество \(\frac{b}{b-a}+\frac{a^2-b^2}{ab+a^2}:\frac{b^2}{(b-a)^2}=-\frac{b}{a}.\)

1. Преобразуем второе слагаемое в левой части. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов, а знаменатель вынесем общий множитель за скобки:$$\frac{a^2-b^2}{ab+a^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{a(b+a)} = \frac{a-b}{a}$$
2. Разделим полученную дробь на \(\frac{b^2}{(b-a)^2}\), заменив деление умножением на перевернутую дробь:$$\frac{a-b}{a} : \frac{b^2}{(b-a)^2} = \frac{a-b}{a} \cdot \frac{(b-a)^2}{b^2} = \frac{(a-b)(b-a)^2}{ab^2}$$
3. Приведем первую дробь к знаменателю \(ab^2\):$$\frac{b}{b-a} = \frac{b \cdot ab^2}{(b-a) \cdot ab^2} = \frac{ab^3}{ab^2(b-a)}$$
4. Сложим дроби:$$\frac{ab^3}{ab^2(b-a)} + \frac{(a-b)(b-a)^2}{ab^2}$$
5. Заметим, что \((a-b) = -(b-a)\), тогда $$\frac{ab^3}{ab^2(b-a)} + \frac{-(b-a)(b-a)^2}{ab^2} = \frac{ab^3}{ab^2(b-a)} - \frac{(b-a)^3}{ab^2}$$
6. Приведем к общему знаменателю, домножим первую дробь на \(ab\), а вторую на \((b-a)\):$$\frac{ab^3 - (b-a)^3 \cdot ab}{ab^2(b-a)}$$
7. Раскроем скобки и упростим:$$\frac{ab^3 - (b^3-3b^2a+3ba^2-a^3) \cdot ab}{ab^2(b-a)} = \frac{ab^3 - ab^4+3ab^3a-3ab^2a^2+a^4b}{ab^2(b-a)} = \frac{- ab^4+3a^2b^3-3a^3b^2+a^4b}{ab^2(b-a)}$$
8. Вынесем общий множитель в числителе за скобки:$$\frac{ab(-b^3+3ab^2-3a^2b+a^3)}{ab^2(b-a)}$$
9. Сократим числитель и знаменатель на \(ab\):$$\frac{(-b^3+3ab^2-3a^2b+a^3)}{b^2(b-a)}$$
10. Разложим числитель по формуле куба разности:$$\frac{(a-b)^3}{b^2(b-a)}$$
11. Упростим, сократив дробь на \((b-a)\):$$\frac{(a-b)^2}{b^2}$$
12. Очевидно, что \(\frac{(a-b)^2}{b^2}
    eq -\frac{b}{a}\), следовательно, тождество неверно.
13. Ответ:

Тождество неверно