Докажите тождество: а) $\frac{\frac1{x+y}+\frac1{x-y}}{\frac1{x+y}-\frac1{x-y}}=-\frac{x}{y}$; в) $\frac{\frac1{x-y}-\frac1{x+y}}{\frac1{x+y}+\frac1{x-y}}=\frac{y}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите тождество: а) $\frac{\frac1{x+y}+\frac1{x-y}}{\frac1{x+y}-\frac1{x-y}}=-\frac{x}{y}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём числитель и знаменатель сложной дроби к общему знаменателю:

$\frac1{x+y}+\frac1{x-y}=\frac{2x}{x^2-y^2}$, $\frac1{x+y}-\frac1{x-y}=\frac{-2y}{x^2-y^2}$.

Следовательно, $\frac{\frac{2x}{x^2-y^2}}{\frac{-2y}{x^2-y^2}}=-\frac{x}{y}$, что и требовалось доказать.

в) Аналогично, $\frac1{x-y}-\frac1{x+y}=\frac{2y}{x^2-y^2}$, а $\frac1{x+y}+\frac1{x-y}=\frac{2x}{x^2-y^2}$.

Тогда $\frac{\frac{2y}{x^2-y^2}}{\frac{2x}{x^2-y^2}}=\frac{y}{x}$, что и требовалось доказать.

Тождества верны при допустимых значениях переменных: знаменатели исходных дробей и знаменатели сложных дробей не должны обращаться в ноль.

Докажите тождество: а) \(\frac{\frac1{x+y}+\frac1{x-y}}{\frac1{x+y}-\frac1{x-y}}=-\frac{x}{y}\); в) \(\frac{\frac1{x-y}-\frac1{x+y}}{\frac1{x+y}+\frac1{x-y}}=\frac{y}{x}\).