Упростите выражение: а) $\left(\frac{m}{n^2-mn}+\frac{n}{m^2-mn}\right)\cdot\frac{mn}{n+m}$; б) $\frac{r^2-25}{r+3}\cdot\frac{1}{r^2+5r}-\frac{r+5}{r^2-3r}$; в) $\left(\frac{st}{s^2-t^2}+\frac{t}{2t-2s}\right)\cdot\frac{s+t}{2t}$; г) $\frac{3a+b}{a^2b-ab^2}+\frac{b-a}{ab}:\frac{a^2-b^2}{3a-b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: а) $\left(\frac{m}{n^2-mn}+\frac{n}{m^2-mn}\right)\cdot\frac{mn}{n+m}$; б)…$ Фото задания

Упростите выражение: а) $\left(\frac{m}{n^2-mn}+\frac{n}{m^2-mn}\right)\cdot\frac{mn}{n+m}$; б) $\frac{r^2-25}{r+3}\cdot\frac{1}{r^2+5r}-\frac{r+5}{r^2-3r}$; в) $\left(\frac{st}{s^2-t^2}+\frac{t}{2t-2s}\right)\cdot\frac{s+t}{2t}$; г) $\frac{3a+b}{a^2b-ab^2}+\frac{b-a}{ab}:\frac{a^2-b^2}{3a-b}$.

Accepted Answer

а) Разложим знаменатели: $n^2-mn=n(n-m)$, $m^2-mn=m(m-n)$. Тогда выражение в скобках равно $\frac{m^2-n^2}{mn(n-m)}=-\frac{m+n}{mn}$. Умножая на $\frac{mn}{m+n}$, получаем $-1$.

б) Первое слагаемое после разложения множителей: $\frac{(r-5)(r+5)}{(r+3)r(r+5)}=\frac{r-5}{r(r+3)}$. Поэтому $\frac{r-5}{r(r+3)}-\frac{r+5}{r(r-3)}=\frac{(r-5)(r-3)-(r+5)(r+3)}{r(r^2-9)}=\frac{30-16r}{r(r^2-9)}$.

в) Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{st}{(s-t)(s+t)}-\frac{t}{2(s-t)}=\frac{2st-t(s+t)}{2(s-t)(s+t)}=\frac{t}{2(s+t)}$.

Тогда $\frac{t}{2(s+t)}\cdot\frac{s+t}{2t}=\frac14$.

г) Сначала объединим два слагаемых слева от знака деления:

$\frac{3a+b}{ab(a-b)}+\frac{b-a}{ab}=\frac{3a+b-(a-b)^2}{ab(a-b)}$.

Деление на $\frac{a^2-b^2}{3a-b}$ заменяем умножением на обратную дробь. Получаем $\frac{(3a+b-(a-b)^2)(3a-b)}{ab(a-b)(a^2-b^2)}$.

Ответ: а) $-1$; б) $\frac{30-16r}{r(r^2-9)}$; в) $\frac14$; г) $\frac{(3a+b-(a-b)^2)(3a-b)}{ab(a-b)(a^2-b^2)}$.

В каждом подпункте исключаются значения переменных, при которых любой знаменатель исходного выражения равен нулю.