Докажите тождество: \(\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}-\frac{2x}{x^2-4}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{2}{x^2-x}\).

Область допустимых значений: \(x\ne-2,-1,0,1,2\).

Сгруппируем дроби, используя общий знаменатель:

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2x}{x^2-1}\), а \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{2x}{x^2-4}\).

Поэтому первая скобка равна \(\frac{2x}{x^2-1}+\frac{2x}{x^2-4}-\frac{2x}{x^2-4}=\frac{2x}{x^2-1}\).

Вторая скобка: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{x+1}{x^2}\).

Перемножим и разложим разность квадратов:

\(\frac{2x}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x^2}=\frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)x^2}=\frac{2}{x(x-1)}=\frac{2}{x^2-x}\).

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях \(x\), следовательно, тождество доказано.