Докажите тождество: 1) x² – 8x + 7 = (x – 1)(x – 7); 2) y²(y – 7)(y + 2) = y⁴ – 5y³ – 14y²; 3) a³ – 8 = (a – 2)(a² + 2a + 4); 4) (a – 1)(a + 1)(a² + 1) = a⁴ – 1; 5) (a⁴ – a² + 1)(a⁴ + a² + 1) = a⁸ + a⁴ + 1.

Давай докажем эти тождества по порядку! 1) x² – 8x + 7 = (x – 1)(x – 7) Раскроем скобки в правой части: \[(x - 1)(x - 7) = x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7\] Таким образом, левая и правая части равны. \[x^2 - 8x + 7 = x^2 - 8x + 7\] 2) y²(y – 7)(y + 2) = y⁴ – 5y³ – 14y² Раскроем скобки в левой части: \[y^2(y^2 + 2y - 7y - 14) = y^2(y^2 - 5y - 14) = y^4 - 5y^3 - 14y^2\] Таким образом, левая и правая части равны. \[y^4 - 5y^3 - 14y^2 = y^4 - 5y^3 - 14y^2\] 3) a³ – 8 = (a – 2)(a² + 2a + 4) Раскроем скобки в правой части: \[(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8 = a^3 - 8\] Таким образом, левая и правая части равны. \[a^3 - 8 = a^3 - 8\] 4) (a – 1)(a + 1)(a² + 1) = a⁴ – 1 Сначала умножим первые две скобки: \[(a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1\] Таким образом, левая и правая части равны. \[a^4 - 1 = a^4 - 1\] 5) (a⁴ – a² + 1)(a⁴ + a² + 1) = a⁸ + a⁴ + 1 Это можно представить как разность квадратов: (x - y)(x + y) = x² - y², где x = a⁴ + 1 и y = a². \[(a^4 + 1 - a^2)(a^4 + 1 + a^2) = (a^4 + 1)^2 - (a^2)^2\] \[(a^8 + 2a^4 + 1) - a^4 = a^8 + a^4 + 1\] Таким образом, левая и правая части равны. \[a^8 + a^4 + 1 = a^8 + a^4 + 1\]

Ответ: Все тождества доказаны.

Отлично! Ты блестяще справился с доказательством тождеств. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!