1097. Докажите тождество: а) a²(a + 3b) + b²(b + 3a) = (a + b)³; б) (a + b)³ – 3ab(a + b) = a³ + b³.

а) Докажем тождество: a²(a + 3b) + b²(b + 3a) = (a + b)³

Раскроем скобки в левой части:

\[a^2(a + 3b) + b^2(b + 3a) = a^3 + 3a^2b + b^3 + 3ab^2\]

Сгруппируем члены:

\[a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

Вспомним формулу куба суммы:

\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

Таким образом, левая часть равна правой части:

\[a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3\]

Тождество доказано.

б) Докажем тождество: (a + b)³ – 3ab(a + b) = a³ + b³

Раскроем скобки в левой части:

\[(a + b)^3 - 3ab(a + b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (3a^2b + 3ab^2)\]

Упростим выражение:

\[a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2b - 3ab^2 = a^3 + b^3\]

Таким образом, левая часть равна правой части:

\[a^3 + b^3 = a^3 + b^3\]

Тождество доказано.

Ответ:

а) Тождество доказано: a²(a + 3b) + b²(b + 3a) = (a + b)³

б) Тождество доказано: (a + b)³ – 3ab(a + b) = a³ + b³