1111. Докажите тождество: a) (a+1/a²+1-2a + 1/a-1) ⋅ a-1/a - 2/a-1 = 0; б) (1+x/x²-xy - 1-y/y²-xy) ⋅ x²y - y²x/x+y = 1; в) За (1/a-c - c/a³-c³) ⋅ a²+c² + ac/a+c - 3c²/a²-c² = 3.

a) \(\left(\frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1}\right) \cdot \frac{a-1}{a} - \frac{2}{a-1} = 0\)

Шаг 1: Упрощаем выражение в скобках:

\(\frac{a+1}{a^2-2a+1} + \frac{1}{a-1} = \frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{1}{a-1} = \frac{a+1 + (a-1)}{(a-1)^2} = \frac{2a}{(a-1)^2}\)

Шаг 2: Умножаем на \(\frac{a-1}{a}\):

\(\frac{2a}{(a-1)^2} \cdot \frac{a-1}{a} = \frac{2}{a-1}\)

Шаг 3: Вычитаем \(\frac{2}{a-1}\):

\(\frac{2}{a-1} - \frac{2}{a-1} = 0\)

Ответ: Тождество доказано

б) \(\left(\frac{1+x}{x^2-xy} - \frac{1-y}{y^2-xy}\right) \cdot \frac{x^2y - y^2x}{x+y} = 1\)

Шаг 1: Упрощаем выражение в скобках:

\(\frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{y(y-x)} = \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{y(x-y)} = \frac{y(1+x) + x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y + xy + x - xy}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)}\)

Шаг 2: Упрощаем вторую дробь:

\(\frac{x^2y - y^2x}{x+y} = \frac{xy(x-y)}{x+y}\)

Шаг 3: Перемножаем:

\(\frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{x+y} = 1\)

Ответ: Тождество доказано

в) \(3a \cdot \left(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3}\right) \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = 3\)

Шаг 1: Упрощаем выражение в скобках:

\(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3} = \frac{1}{a-c} - \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} = \frac{a^2+ac+c^2 - c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)}\)

Шаг 2: Умножаем на \(\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}\):

\(\frac{a^2+ac+c^2 - c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} = \frac{(a^2+ac+c^2 - c)(a^2+ac+c^2)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)(a+c)} = \frac{a^2+ac+c^2-c}{(a-c)(a+c)}\)

Шаг 3: Умножаем на 3a:

\(3a \cdot \frac{a^2+ac+c^2 - c}{(a-c)(a+c)} = \frac{3a(a^2+ac+c^2-c)}{(a-c)(a+c)}\)

Шаг 4: Вычитаем \(\frac{3c^2}{a^2-c^2}\):

\(\frac{3a(a^2+ac+c^2-c)}{(a-c)(a+c)} - \frac{3c^2}{(a-c)(a+c)} = \frac{3a(a^2+ac+c^2-c) - 3c^2}{(a-c)(a+c)} = \frac{3a^3+3a^2c+3ac^2-3ac-3c^2}{(a-c)(a+c)}\)

Упростить до 3 не получается. В условии ошибка.

Ответ: Тождество не доказано (в условии ошибка)