1108. Укажите область определения и найдите нули функции: a) y = x - √x +6 x+5 ; б) y= у = 4x² + 25x 2x-10-6x

a) y = \(\frac{x - \sqrt{x+6}}{x+5}\)

Шаг 1: Область определения:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x + 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6\)
• Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x + 5
  e 0 \Rightarrow x
  e -5\)

Область определения: \(x \in [-6; -5) \cup (-5; +\infty)\)

Шаг 2: Нули функции:

\(\frac{x - \sqrt{x+6}}{x+5} = 0\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(x - \sqrt{x+6} = 0\)

\(x = \sqrt{x+6}\)

Возводим обе части в квадрат:

\(x^2 = x + 6\)

\(x^2 - x - 6 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Проверяем корни:

• x = 3: \(3 - \sqrt{3+6} = 3 - \sqrt{9} = 3 - 3 = 0\) (подходит)
• x = -2: \(-2 - \sqrt{-2+6} = -2 - \sqrt{4} = -2 - 2 = -4
  e 0\) (не подходит)

Ответ: Область определения: \(x \in [-6; -5) \cup (-5; +\infty)\); Нуль функции: x = 3

б) y = \(\frac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10-6x}}\)

Шаг 1: Область определения:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(10 - 6x \ge 0 \Rightarrow 6x \le 10 \Rightarrow x \le \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\)
• Знаменатель не должен быть равен нулю: \(2x - \sqrt{10-6x}
  e 0\)

Найдем, когда знаменатель равен нулю:

\(2x = \sqrt{10-6x}\)

Возводим обе части в квадрат:

\(4x^2 = 10 - 6x\)

\(4x^2 + 6x - 10 = 0\)

\(2x^2 + 3x - 5 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\)

\(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

\(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5\)

Проверяем корни:

• x = 1: \(2 \cdot 1 - \sqrt{10 - 6 \cdot 1} = 2 - \sqrt{4} = 2 - 2 = 0\) (не подходит)
• x = -2.5: \(2 \cdot (-2.5) - \sqrt{10 - 6 \cdot (-2.5)} = -5 - \sqrt{10 + 15} = -5 - \sqrt{25} = -5 - 5 = -10
  e 0\) (подходит)

Область определения: \(x \in (-\infty; -2.5) \cup (-2.5; 1) \cup (1; \frac{5}{3}]\)

Шаг 2: Нули функции:

\(\frac{4x^2 + 25x}{2x - \sqrt{10-6x}} = 0\)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(4x^2 + 25x = 0\)

\(x(4x + 25) = 0\)

\(x = 0\) или \(4x + 25 = 0\)

\(x = 0\) или \(4x = -25\)

\(x = 0\) или \(x = -\frac{25}{4} = -6.25\)

Проверяем корни на принадлежность области определения:

• x = 0: принадлежит области определения
• x = -6.25: принадлежит области определения

Ответ: Область определения: \(x \in (-\infty; -2.5) \cup (-2.5; 1) \cup (1; \frac{5}{3}]\); Нули функции: x = 0, x = -6.25