1. Докажите тождество: a) cos 2x + sin²x = 1/2 ctg x; sin 2x б) sin 9x + sin 10x + sin 11x + sin 12x = 4 cos x/2 cos x sin 21x/2

1. Докажите тождество:

а) Преобразуем левую часть выражения: \[\frac{\cos 2x + \sin^2 x}{\sin 2x}\] Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\). \[\frac{\cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x}{\sin 2x}\] Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). \[\frac{\cos^2 x}{2 \sin x \cos x} = \frac{\cos x}{2 \sin x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{2} \ctg x\]

Ответ: Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем сумму синусов, используя формулу суммы синусов: \(\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}\) Сгруппируем слагаемые попарно: \[(\sin 9x + \sin 12x) + (\sin 10x + \sin 11x)\] Применим формулу суммы синусов к каждой паре: \[2 \sin \frac{9x+12x}{2} \cos \frac{9x-12x}{2} + 2 \sin \frac{10x+11x}{2} \cos \frac{10x-11x}{2}\] \[2 \sin \frac{21x}{2} \cos \frac{-3x}{2} + 2 \sin \frac{21x}{2} \cos \frac{-x}{2}\] Так как \(\cos(-x) = \cos x\), получим: \[2 \sin \frac{21x}{2} \cos \frac{3x}{2} + 2 \sin \frac{21x}{2} \cos \frac{x}{2}\] Вынесем общий множитель \(2 \sin \frac{21x}{2}\) за скобки: \[2 \sin \frac{21x}{2} (\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2})\] Применим формулу суммы косинусов: \(\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}\) \[2 \sin \frac{21x}{2} \cdot 2 \cos \frac{\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}}{2} \cos \frac{\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}}{2}\] \[4 \sin \frac{21x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2}\]

Ответ: \(4 \cos \frac{x}{2} \cos x \sin \frac{21x}{2}\)

Ответ: \(4 \cos \frac{x}{2} \cos x \sin \frac{21x}{2}\)