Найдите корни уравнения sin 10x sin 2x = sin 8x sin 4x, прнадлежащие промежутку [-π/6; π/2].

Решим уравнение \(\sin 10x \sin 2x = \sin 8x \sin 4x\) на промежутке \(\[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\]\). Используем формулу произведения синусов: \[\sin a \sin b = \frac{1}{2}(\cos(a - b) - \cos(a + b))\] Применим эту формулу к обеим частям уравнения: \[\frac{1}{2}(\cos(10x - 2x) - \cos(10x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos(8x - 4x) - \cos(8x + 4x))\] \[\cos 8x - \cos 12x = \cos 4x - \cos 12x\] \[\cos 8x = \cos 4x\] Перенесем все в одну сторону: \[\cos 8x - \cos 4x = 0\] Используем формулу разности косинусов: \[\cos a - \cos b = -2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}\] \[-2 \sin \frac{8x + 4x}{2} \sin \frac{8x - 4x}{2} = 0\]\[-2 \sin 6x \sin 2x = 0\] Это уравнение выполняется, когда \(\sin 6x = 0\) или \(\sin 2x = 0\). 1) \(\sin 6x = 0\) \[6x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]\[x = \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}\] 2) \(\sin 2x = 0\) \[2x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\]\[x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\] Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку \(\[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\]\). 1) Для \(x = \frac{\pi n}{6}\): - При \(n = -1\): \(x = -\frac{\pi}{6}\) - При \(n = 0\): \(x = 0\) - При \(n = 1\): \(x = \frac{\pi}{6}\) - При \(n = 2\): \(x = \frac{\pi}{3}\) - При \(n = 3\): \(x = \frac{\pi}{2}\) 2) Для \(x = \frac{\pi k}{2}\): - При \(k = -1\): \(x = -\frac{\pi}{2}\) (не входит в промежуток) - При \(k = 0\): \(x = 0\) - При \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{2}\) Объединим корни: \(-\frac{\pi}{6}, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)

Ответ: \(-\frac{\pi}{6}, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)

Ответ: \(-\frac{\pi}{6}, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)