Найдите sin² x/2, если ctg (π/2 + x) = 2√6, x ∈ (π/2; π).

Используем формулу приведения \(\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\operatorname{tg} x\). Таким образом, \(-\operatorname{tg} x = 2\sqrt{6}\), или \(\operatorname{tg} x = -2\sqrt{6}\). Нам нужно найти \(\sin^2 \frac{x}{2}\). Используем формулу \(\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}\). Чтобы найти \(\cos x\), зная \(\operatorname{tg} x\), вспомним, что \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\), и что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Выразим \(\sin x\) через \(\operatorname{tg} x\) и \(\cos x\): \(\sin x = \operatorname{tg} x \cos x\). Подставим это в \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \((\operatorname{tg} x \cos x)^2 + \cos^2 x = 1\). \[\operatorname{tg}^2 x \cos^2 x + \cos^2 x = 1\]\[\cos^2 x (\operatorname{tg}^2 x + 1) = 1\]\[\cos^2 x = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 x + 1}\] Подставим \(\operatorname{tg} x = -2\sqrt{6}\): \(\cos^2 x = \frac{1}{(-2\sqrt{6})^2 + 1} = \frac{1}{24 + 1} = \frac{1}{25}\). Значит, \(\cos x = \pm \frac{1}{5}\). Поскольку \(x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\), то \(\cos x < 0\), следовательно, \(\cos x = -\frac{1}{5}\). Теперь найдем \(\sin^2 \frac{x}{2}\): \[\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - (-\frac{1}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{1}{5}}{2} = \frac{\frac{6}{5}}{2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6\]

Ответ: 0.6

Ответ: 0.6