5. (Дополнительное задание). При каком значении р прямая у = −2х + р имеет с параболой у = х² + 2х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

Прямая y = -2x + p и парабола y = x² + 2x имеют ровно одну общую точку, если уравнение x² + 2x = -2x + p имеет единственное решение.

Перепишем уравнение:

x² + 2x + 2x - p = 0

x² + 4x - p = 0

Для того чтобы квадратное уравнение имело единственное решение, его дискриминант должен быть равен нулю:

D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-p) = 16 + 4p

16 + 4p = 0

4p = -16

p = -4

Теперь найдем координаты общей точки при p = -4:

y = -2x - 4

x² + 4x - (-4) = 0

x² + 4x + 4 = 0

(x + 2)² = 0

x = -2

Подставим x = -2 в уравнение прямой:

y = -2 * (-2) - 4 = 4 - 4 = 0

Координаты общей точки: (-2; 0)

Ответ: p = -4, координаты общей точки: (-2; 0)