3. Постройте график функции у = х²+4x-5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Функция y = x² + 4x - 5 является квадратичной функцией, графиком которой является парабола.

1) Найдем координаты вершины параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 * 1} = -2$$

$$y_в = (-2)² + 4 * (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

Вершина параболы: (-2; -9)

2) Найдем нули функции (точки пересечения с осью x):

x² + 4x - 5 = 0

Найдем дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

$$x_1 = \frac{-b + √D}{2a} = \frac{-4 + √36}{2 * 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - √D}{2a} = \frac{-4 - √36}{2 * 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Нули функции: x = 1 и x = -5

3) Ось симметрии параболы: x = -2

4) Дополнительные точки для построения графика:

Если x = -1, то y = (-1)² + 4 * (-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8

Если x = 0, то y = 0² + 4 * 0 - 5 = -5

a) Область определения: x ∈ (-∞; +∞). Область значения: y ∈ [-9; +∞).

б) Нули функции: x = 1 и x = -5.

в) Промежутки знакопостоянства:

y > 0 при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞)

y < 0 при x ∈ (-5; 1)

г) Промежутки возрастания и убывания:

Функция убывает на промежутке (-∞; -2]

Функция возрастает на промежутке [-2; +∞)

д) Наименьшее значение функции: y = -9 (в вершине параболы при x = -2). Наибольшего значения функция не имеет.

Ответ:

а) Область определения: x ∈ (-∞; +∞). Область значения: y ∈ [-9; +∞).

б) Нули функции: x = 1 и x = -5.

в) y > 0 при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞); y < 0 при x ∈ (-5; 1)

г) Функция убывает на промежутке (-∞; -2]; Функция возрастает на промежутке [-2; +∞)

д) Наименьшее значение функции: y = -9. Наибольшего значения функция не имеет.