Дуровень 1. Высота ВК, проведенная к стороне AD параллелограмма ABCD, делит эту сторону на два отрезка АК = 7 см, КD = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если ДА = 45°. 2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ВС = 13 см, AD = 27 см, CD = 10 см, ∠D = 30°. 3. Дан треугольник МКР. На стороне МК отмечена точка Т так, что МТ = 5 см, КТ = 10 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если МР = 12 см, КР = 9 см. 4*. В равностороннем треугольнике большая сторона составляет 75% суммы двух других. Точка М, принадлежащая этой стороне, является концом биссектрисы треугольника. Найдите расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.

Разберем задачи по геометрии.

1. Площадь параллелограмма.

Дано: параллелограмм ABCD, высота BK проведена к стороне AD, AK = 7 см, KD = 15 см, угол A = 45°.

Найти: площадь параллелограмма.

Решение:

AD = AK + KD = 7 + 15 = 22 см.

В прямоугольном треугольнике ABK, BK = AB * sin(A). Так как угол A = 45°, то sin(45°) = √2/2.

Чтобы найти AB, рассмотрим треугольник ABK: AK = BK = x, тогда AB = √(x² + x²) = x√2.

Так как AK = 7, то BK = 7 см.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: S = AD * BK = 22 * 7 = 154 см².

Ответ: 154 см²

---

2. Площадь трапеции.

Дано: трапеция ABCD, BC = 13 см, AD = 27 см, CD = 10 см, угол D = 30°.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Высота трапеции CH = CD * sin(D) = 10 * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 см.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((BC + AD) / 2) * CH = ((13 + 27) / 2) * 5 = (40 / 2) * 5 = 20 * 5 = 100 см².

Ответ: 100 см²

---

3. Площади треугольников.

Дано: треугольник MKP, точка T на стороне MK, MT = 5 см, KT = 10 см, MP = 12 см, KP = 9 см.

Найти: площади треугольников MPT и KPT.

Решение:

Введем обозначения: MT = 5, KT = 10, MP = 12, KP = 9.

Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований: S(MPT) / S(KPT) = MT / KT = 5 / 10 = 1/2.

По формуле Герона, площадь треугольника MKP равна: S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)), где p = (a + b + c) / 2 - полупериметр.

В данном случае: a = 12, b = 9, c = 15 (MK = MT + TK = 5 + 10 = 15).

p = (12 + 9 + 15) / 2 = 36 / 2 = 18.

S(MKP) = sqrt(18(18 - 12)(18 - 9)(18 - 15)) = sqrt(18 * 6 * 9 * 3) = sqrt(2916) = 54 см².

Пусть S(MPT) = x, тогда S(KPT) = 2x.

S(MKP) = S(MPT) + S(KPT) = x + 2x = 3x = 54.

x = 54 / 3 = 18.

S(MPT) = 18 см² и S(KPT) = 2 * 18 = 36 см².

Ответ: площадь треугольника MPT равна 18 см², площадь треугольника KPT равна 36 см².

---

4*. Расстояние от точки до стороны.

Дано: равносторонний треугольник, большая сторона составляет 75% суммы двух других, точка M - конец биссектрисы, меньшая высота равна 4 см.

Найти: расстояние от точки M до меньшей стороны.

Решение:

Т.к. треугольник равносторонний, то все его стороны равны. Пусть сторона треугольника равна a. Тогда a = 0.75 * (a + a) = 1.5a.

Условие задачи противоречиво, так как из этого равенства следует, что a = 0, что невозможно.

Если предположить, что большая сторона составляет 75% от периметра, то a = 0.75 * 3a, откуда снова получаем a = 0.75 * 3a, т.е. a = 0. В данном случае необходимо пересмотреть условия.