І вариант Контрольная работа № 2 по теме «Площади фигур». 8 класс Пуровень 1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. 3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см. 4*. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

Разберем задачи по геометрии.

1. Площадь треугольника.

Дано: сторона треугольника равна 5 см, высота в два раза больше стороны.

Найти: площадь треугольника.

Решение:

Высота треугольника равна $$5 \cdot 2 = 10$$ см.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где $$a$$ - сторона, $$h$$ - высота.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25$$ см²

Ответ: 25 см²

---

2. Прямоугольный треугольник.

Дано: катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см.

Найти: гипотенузу и площадь треугольника.

Решение:

По теореме Пифагора, гипотенуза $$c$$ равна $$\sqrt{a^2 + b^2}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты.

$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$ см²

Ответ: гипотенуза 10 см, площадь 24 см².

---

3. Площадь и периметр ромба.

Дано: диагонали ромба равны 8 см и 10 см.

Найти: площадь и периметр ромба.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40$$ см²

Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 5 см.

$$a = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$ см.

Периметр ромба равен $$4a$$, где $$a$$ - сторона ромба.

$$P = 4 \cdot \sqrt{41} \approx 4 \cdot 6.4 = 25.6$$ см.

Ответ: площадь 40 см², периметр $$4\sqrt{41}$$ см (или приблизительно 25.6 см).

---

4*. Площадь трапеции.

Дано: трапеция АВСК прямоугольная, большая боковая сторона $$3\sqrt{2}$$ см, угол К равен 45°, высота СН делит основание АК пополам.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Пусть длина высоты CH = x. Тогда AK = x, так как угол K = 45°. Так как CH делит AK пополам, AH = x/2.

Большая боковая сторона (боковая сторона, прилежащая к углу 45°) равна 3√2 см, поэтому высота трапеции $$x$$ равна $$3\sqrt{2} \cdot sin(45°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3$$.

Итак, CH = 3 см, следовательно AK = 3 см, AH = 1.5 см.

Найдем меньшее основание BC. BC = AH = 1.5 см.

Площадь трапеции: $$S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CH = \frac{1.5 + 3}{2} \cdot 3 = \frac{4.5}{2} \cdot 3 = 2.25 \cdot 3 = 6.75$$ см²

Ответ: площадь трапеции 6.75 см².