2уровень 1. Смежные стороны параллелограмма равны 52 и 30 см, а острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма. 2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ∠A = 45°, LD = 90°. 3. Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка К так, что АК = 6 см, КС = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ = 13 см, ВС = 14 см. 4*. Высота равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой внутри этого тре- угольника, до его сторон.

Разберем задачи по геометрии.

1. Площадь параллелограмма.

Дано: смежные стороны параллелограмма равны 52 см и 30 см, острый угол 30°.

Найти: площадь параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними: $$S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)$$, где $$a$$ и $$b$$ - смежные стороны, $$\alpha$$ - угол между ними.

$$S = 52 \cdot 30 \cdot sin(30°) = 52 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} = 52 \cdot 15 = 780$$ см²

Ответ: 780 см²

---

2. Площадь трапеции.

Дано: трапеция ABCD, AD = 24 см, BC = 16 см, угол A = 45°, угол D = 90°.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Проведем высоту BH. Рассмотрим треугольник ABH. Угол A = 45°, угол H = 90°, следовательно, угол ABH = 45°. Значит, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.

Также AH = AD - BC = 24 - 16 = 8 см. Следовательно, BH = 8 см.

Площадь трапеции: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{16 + 24}{2} \cdot 8 = \frac{40}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160$$ см²

Ответ: 160 см²

---

3. Площади треугольников.

Дано: треугольник ABC, точка K на стороне AC, AK = 6 см, KC = 9 см, AB = 13 см, BC = 14 см.

Найти: площади треугольников ABK и CBK.

Решение:

Пусть h - высота, опущенная из вершины B на сторону AC. Тогда площадь треугольника ABK равна $$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 3h$$. Площадь треугольника CBK равна $$S_{CBK} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h = 4.5h$$.

По формуле Герона площадь треугольника ABC равна $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где p - полупериметр, a, b, c - стороны.

Полупериметр $$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$.

$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$ см².

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABK и CBK: $$S_{ABC} = S_{ABK} + S_{CBK} = 3h + 4.5h = 7.5h$$.

Отсюда $$h = \frac{84}{7.5} = \frac{840}{75} = \frac{168}{15} = \frac{56}{5} = 11.2$$ см.

Тогда $$S_{ABK} = 3h = 3 \cdot 11.2 = 33.6$$ см².

$$S_{CBK} = 4.5h = 4.5 \cdot 11.2 = 50.4$$ см².

Ответ: площадь треугольника ABK равна 33.6 см², площадь треугольника CBK равна 50.4 см².

---

4*. Сумма расстояний.

Дано: равносторонний треугольник, высота равна 6 см.

Найти: сумму расстояний от произвольной точки внутри треугольника до его сторон.

Решение:

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Сторона равностороннего треугольника равна $$\frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$ см.

Площадь равностороннего треугольника равна $$\frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$$ см².

Пусть x, y, z - расстояния от произвольной точки внутри треугольника до его сторон. Тогда площадь треугольника равна сумме площадей трех треугольников, образованных этой точкой и сторонами:

$$S = \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}ay + \frac{1}{2}az = \frac{1}{2}a(x+y+z)$$, где a - сторона треугольника.

$$12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot (x+y+z)$$. Отсюда $$x+y+z = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{24}{4} = 6$$ см.

Ответ: сумма расстояний равна 6 см.