2вариант Пуровень 1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше сторони Найдите площадь треугольника. 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника. 3. Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и пе- риметр. 4*. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD попо- лам. Найдите площадь трапеции.

Разберем задачи по геометрии.

1. Площадь треугольника.

Дано: сторона треугольника равна 12 см, высота в три раза меньше стороны.

Найти: площадь треугольника.

Решение:

Высота треугольника равна $$12 : 3 = 4$$ см.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где $$a$$ - сторона, $$h$$ - высота.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$$ см²

Ответ: 24 см²

---

2. Прямоугольный треугольник.

Дано: один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, гипотенуза 13 см.

Найти: второй катет и площадь треугольника.

Решение:

По теореме Пифагора, второй катет $$b$$ равен $$\sqrt{c^2 - a^2}$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$a$$ - известный катет.

$$b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$ см²

Ответ: второй катет 5 см, площадь 30 см².

---

3. Площадь и периметр ромба.

Дано: диагонали ромба равны 10 см и 12 см.

Найти: площадь и периметр ромба.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$ см²

Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 6 см.

$$a = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$$ см.

Периметр ромба равен $$4a$$, где $$a$$ - сторона ромба.

$$P = 4 \cdot \sqrt{61} \approx 4 \cdot 7.8 = 31.2$$ см.

Ответ: площадь 60 см², периметр $$4\sqrt{61}$$ см (или приблизительно 31.2 см).

---

4*. Площадь трапеции.

Дано: трапеция ABCD прямоугольная, большая боковая сторона 8 см, угол A равен 60°, высота BH делит основание AD пополам.

Найти: площадь трапеции.

Решение:

Высота BH = $$8 \cdot sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ см.

AH = $$8 \cdot cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$ см.

Так как высота делит основание AD пополам, AH = HD = 4 см, следовательно, AD = 8 см.

Так как ABCD - прямоугольная трапеция, BC = HD = 4 см.

Площадь трапеции: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{4 + 8}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$$ см².

Ответ: площадь трапеции $$24\sqrt{3}$$ см².