12. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежит куча из 6 камней. Игроки берут камни по очереди. За один ход можно взять 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто выигрывает при безошибочной игре обо- их игроков - игрок, делающий первый ход, или игрок, делаю- щий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрываю- щего игрока? Ответ обоснуйте.

В данной игре выигрывает игрок, делающий первый ход. Чтобы выиграть, первый игрок должен сделать первый ход так, чтобы после его хода осталось 2 камня.

Первый игрок берет 4 камня (6-4 = 2). Тогда, сколько бы ни взял второй игрок (1, 2 или 3 камня), первый игрок всегда сможет забрать оставшиеся камни и оставить второго игрока без камней.

Обоснование:

• Если первый игрок берет 1 камень, остается 5 камней. Если второй игрок берет 3 камня, остается 2 камня. Далее первый игрок берет 2 камня и выигрывает.
• Если первый игрок берет 2 камня, остается 4 камня. Если второй игрок берет 2 камня, остается 2 камня. Далее первый игрок берет 2 камня и выигрывает.
• Если первый игрок берет 3 камня, остается 3 камня. Если второй игрок берет 1 камень, остается 2 камня. Далее первый игрок берет 2 камня и выигрывает.
• Первый ход: взять 4 камня, остается 2 камня.
• Второй игрок может взять 1 или 2 камня.
• Если второй игрок берет 1 камень, остается 1 камень. Первый игрок берет последний камень и второй игрок проигрывает.
• Если второй игрок берет 2 камня, остается 0 камней. Второй игрок проигрывает.

Ответ: Первый игрок выигрывает, если первым ходом возьмет 4 камня.