Два подобных треугольника имеют сходственные стороны 6 см и 9 см. Сумма их площадей равна 117 см². Найдите площадь каждого треугольника.

Решение:

1. Найдем коэффициент подобия:

$$\frac{a_1}{a_2} = k$$

где:

• a₁ – сторона первого треугольника, равная 6 см;
• a₂ – сторона второго треугольника, равная 9 см;
• k – коэффициент подобия.

Подставим значения:

$$k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$

где:

• S₁ – площадь первого треугольника;
• S₂ – площадь второго треугольника;

Выразим площадь первого треугольника:

$$S_1 = k^2 \cdot S_2$$

3. Сумма площадей треугольников равна 117 см²:

$$S_1 + S_2 = 117$$

Подставим площадь первого треугольника, выраженную через площадь второго:

$$k^2 \cdot S_2 + S_2 = 117$$

$$S_2 (k^2 + 1) = 117$$

Выразим площадь второго треугольника:

$$S_2 = \frac{117}{k^2 + 1}$$

Подставим значения:

$$S_2 = \frac{117}{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1} = \frac{117}{\frac{4}{9} + 1} = \frac{117}{\frac{13}{9}} = 117 \cdot \frac{9}{13} = 9 \cdot 9 = 81 \text{ см}^2$$

4. Найдем площадь первого треугольника:

$$S_1 = 117 - S_2 = 117 - 81 = 36 \text{ см}^2$$

Ответ: 36 см² и 81 см²