3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Из точки М на прямой АВ проведена секущая MCD к первой окружности и касательная МХ ко второй. Найдите МХ, если известно, что МС = CD = 1.

Обозначим длину отрезка MX как x. По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, имеем: Для первой окружности: \(MC \cdot MD = MA \cdot MB\). Так как \(MC = 1\) и \(CD = 1\), то \(MD = MC + CD = 1 + 1 = 2\). Значит, \(MC \cdot MD = 1 \cdot 2 = 2\). Для второй окружности: \(MX^2 = MA \cdot MB\). Следовательно, \(MX^2 = x^2\). По условию задачи, точки A, B, M лежат на одной прямой, и из точки M проведены секущая MCD к первой окружности и касательная MX ко второй окружности. Также дано, что MC = CD = 1. Нужно найти MX. Имеем, что \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\) для первой окружности и \(MX^2 = MA \cdot MB\) для второй окружности. Таким образом, \(MX^2 = MC \cdot MD\). Подставим известные значения: \(MX^2 = 1 \cdot (1+1) = 1 \cdot 2 = 2\). Тогда \(MX = \sqrt{2}\). Ответ: \(\sqrt{2}\)