5. Вписанная окружность прямоугольного треугольника со сторонами АВ = 12, AC = 5 и ВС = 13 касается стороны АС в точке Д. Прямая BD вторично пересекает вписанную окружность в точке Х, а описанную около АВС окружность в точке Ү. Найдите ХY.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(AB = 12\), \(AC = 5\) и гипотенузой \(BC = 13\) вписанная окружность касается стороны \(AC\) в точке \(D\). Прямая \(BD\) вторично пересекает вписанную окружность в точке \(X\) и описанную окружность около треугольника \(ABC\) в точке \(Y\). Необходимо найти длину отрезка \(XY\). 1. Найдем радиус вписанной окружности \(r\). Для прямоугольного треугольника \(r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{12 + 5 - 13}{2} = 2\). 2. Определим координаты точек. Пусть \(A = (0, 5)\), \(B = (12, 0)\), \(C = (0, 0)\). Тогда точка \(D\), как точка касания вписанной окружности и \(AC\), имеет координату \(D = (0, r) = (0, 2)\). 3. Найдем уравнение прямой \(BD\). Прямая проходит через точки \(B(12, 0)\) и \(D(0, 2)\). Уравнение прямой: \(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\). Подставляя координаты, получаем: \(\frac{x - 12}{0 - 12} = \frac{y - 0}{2 - 0}\), то есть \(\frac{x - 12}{-12} = \frac{y}{2}\). Упростим: \(2x - 24 = -12y\), \(x + 6y - 12 = 0\). Итак, уравнение прямой \(BD: x + 6y - 12 = 0\). 4. Найдем координаты центра и радиус описанной окружности. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы. \(O = (\frac{12 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (6, 0)\). Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: \(R = \frac{13}{2} = 6.5\). 5. Найдем уравнение описанной окружности: \((x - 6)^2 + y^2 = (6.5)^2\). 6. Найдем точку \(Y\), лежащую на пересечении прямой \(BD\) и описанной окружности. Подставим \(x = 12 - 6y\) в уравнение окружности: \((12 - 6y - 6)^2 + y^2 = 42.25\), \((6 - 6y)^2 + y^2 = 42.25\), \(36 - 72y + 36y^2 + y^2 = 42.25\), \(37y^2 - 72y - 6.25 = 0\). Решим квадратное уравнение относительно \(y\). Корни: \(y_1 = 2\), \(y_2 = -\frac{6.25}{37} \approx -0.1689\). Соответствующие значения \(x: x_1 = 0\) (точка \(D\)), \(x_2 = 12 - 6(-\frac{6.25}{37}) = 12 + \frac{37.5}{37} \approx 13.0135\). Итак, точка \(Y \approx (13.0135, -0.1689)\). 7. Чтобы найти точку \(X\), нужно найти уравнение вписанной окружности. Центр вписанной окружности имеет координаты \((r, r) = (2, 2)\). Уравнение: \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\). 8. Найдем точку \(X\) как пересечение прямой \(BD\) и вписанной окружности. Подставим \(x = 12 - 6y\) в уравнение окружности: \((12 - 6y - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4\), \((10 - 6y)^2 + (y - 2)^2 = 4\), \(100 - 120y + 36y^2 + y^2 - 4y + 4 = 4\), \(37y^2 - 124y + 100 = 0\). Решим квадратное уравнение: \(y = 2\) и \(y = \frac{50}{37} \approx 1.3514\). Соответствующие \(x\): \(x = 0\) и \(x = 12 - 6(\frac{50}{37}) = 12 - \frac{300}{37} = \frac{444 - 300}{37} = \frac{144}{37} \approx 3.8919\). Точка \(X \approx (3.8919, 1.3514)\). Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем \(XY\): \(XY = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(13.0135 - 3.8919)^2 + (-0.1689 - 1.3514)^2} = \sqrt{(9.1216)^2 + (-1.5203)^2} \approx \sqrt{83.2036 + 2.3113} = \sqrt{85.5149} \approx 9.2474\) Ответ: 9.25