4. В треугольнике АВС сторона АС в 1,5 раза длиннее стороны АВ. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника АВС в точке А, пересекает продолжение луча СВ в точке D. Найдите длину стороны ВС, если известно, что AD = 18.

Пусть \(AB = x\), тогда \(AC = 1.5x\). По теореме о касательной и секущей, \(AD^2 = BD \cdot CD\). Также, по свойству касательной, угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. То есть, \(\angle DAC = \angle ABC\). Рассмотрим треугольники \(\triangle DAC\) и \(\triangle DAB\). У них есть общий угол \(\angle D\), и \(\angle DAC = \angle ABC\). Следовательно, треугольники \(\triangle DAC\) и \(\triangle DAB\) подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует: \(\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{AB} = \frac{DC}{AD}\) \(\frac{AC}{AB} = \frac{1.5x}{x} = 1.5\) Таким образом, \(\frac{AD}{BD} = 1.5\) и \(\frac{DC}{AD} = 1.5\). \(AD = 18\), следовательно, \(\frac{18}{BD} = 1.5\) и \(\frac{DC}{18} = 1.5\). Найдем BD и DC: \(BD = \frac{18}{1.5} = 12\) \(DC = 1.5 \cdot 18 = 27\) Поскольку \(DC = BC + BD\), то \(BC = DC - BD = 27 - 12 = 15\). Ответ: 15