797 Две окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная МК. а) Докажите, что ∠КАМ = 90°; б) найдите длину отрезка МК.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: a) ∠КАМ = 90°; б) MK = √((R+r)² - (R-r)²) = 2√(Rr)

Краткое пояснение: Доказали прямой угол, нашли длину отрезка MK через теорему Пифагора.

Показать доказательство

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно.
Проведем радиусы O₁K и O₂M к точкам касания K и M.
Углы O₁KA и O₂MA — прямые, так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной.
Сумма углов O₁KA + O₂MA = 90° + 90° = 180°.
∠O₁AO₂ — развернутый угол, так как точка A лежит на линии центров двух касающихся окружностей.
Проведем прямую KA и MA.
∠O₁AK + ∠KAM + ∠MAO₂ = 180°.
∠O₁AK = 90° и ∠MAO₂ = 90°, следовательно, ∠KAM = 180° - 90° - 90° = 90°.

Показать решение

Проведем O₁H || MK, где H лежит на O₂M.
Тогда O₁M = MK и O₂H = R - r.
В прямоугольном треугольнике O₁HO₂: O₁O₂ = R + r.
По теореме Пифагора: O₁H² = O₁O₂² - O₂H² = (R + r)² - (R - r)².
O₁H = √( (R+r)² - (R-r)² ) = √( R² + 2Rr + r² - (R² - 2Rr + r²) ) = √( 4Rr ) = 2√(Rr).
Следовательно, MK = O₁H = 2√(Rr).

Ответ: a) ∠КАМ = 90°; б) MK = √((R+r)² - (R-r)²) = 2√(Rr)

Тайм-трейлер, ты на шаг ближе к звездам! Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро