211 Две параллельные прямые пересече- ны секущей. Докажите, что: а) биссектри- сы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов пер- пендикулярны.

a) Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Рассмотрим два накрест лежащих угла 1 и 2. Пусть AM и BN - биссектрисы углов 1 и 2 соответственно. Т.к. углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c, то их половины также равны, т.е. углы ∠MAB и ∠NBA равны. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AM и BN и секущей c. Следовательно, прямые AM и BN параллельны.

б) Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Рассмотрим два односторонних угла 3 и 4. Пусть CK и DL - биссектрисы углов 3 и 4 соответственно. Т.к. сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°, то угол 3 + угол 4 = 180°. Тогда 1/2 * угол 3 + 1/2 * угол 4 = 1/2 * 180° = 90°. Значит, сумма углов ∠KCD и ∠LDC равна 90°. Следовательно, угол между биссектрисами CK и DL равен 90°, т.е. биссектрисы перпендикулярны.

Ответ: Доказано, что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; доказано, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.