3. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, его площадь равна 16√3 см². Найдите сумму квадратов значений, которые может принимать третья сторона треугольника.

3. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, площадь равна $$16\sqrt{3}$$ см². Необходимо найти сумму квадратов значений, которые может принимать третья сторона треугольника.

Пусть стороны треугольника a = 7 см, b = 8 см, а угол между ними равен ∠C. Тогда площадь треугольника можно выразить как:

$$S = \frac{1}{2}ab \sin{∠C}$$ $$16\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{∠C}$$ $$\sin{∠C} = \frac{16\sqrt{3} \cdot 2}{7 \cdot 8} = \frac{32\sqrt{3}}{56} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

Так как синус угла может принимать два значения (острый и тупой угол), то имеем два возможных значения угла ∠C:

$$∠C_1 = \arcsin{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$$ $$∠C_2 = 180° - \arcsin{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$$

Пусть третья сторона равна c. По теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{∠C}$$

Тогда два возможных значения для c²:

$$c_1^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cos{∠C_1} = 49 + 64 - 112 \cos{∠C_1} = 113 - 112 \cos{∠C_1}$$ $$c_2^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cos{∠C_2} = 49 + 64 - 112 \cos{(180° - ∠C_1)} = 113 + 112 \cos{∠C_1}$$

Сумма квадратов значений, которые может принимать третья сторона:

$$c_1^2 + c_2^2 = (113 - 112 \cos{∠C_1}) + (113 + 112 \cos{∠C_1}) = 113 - 112 \cos{∠C_1} + 113 + 112 \cos{∠C_1} = 226$$

Ответ: 226