*В окружность вписан четырёхугольник, две стороны которого равны 16 см и 30 см, а угол между ними – 60°. Найдите две другие стороны этого четырёхугольника, если их разность равна 2 см.

*В окружность вписан четырехугольник, две стороны которого равны 16 см и 30 см, а угол между ними 60°. Необходимо найти две другие стороны этого четырехугольника, если их разность равна 2 см.

Пусть ABCD - вписанный четырехугольник, AB = 16 см, BC = 30 см, ∠ABC = 60°. Пусть AD = x, CD = y, при этом x - y = 2, тогда x = y + 2.

По теореме косинусов для треугольника ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{∠ABC} = 16^2 + 30^2 - 2 \cdot 16 \cdot 30 \cdot \cos{60°} = 256 + 900 - 960 \cdot \frac{1}{2} = 1156 - 480 = 676$$ $$AC = \sqrt{676} = 26$$

Для вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180°:

$$∠ABC + ∠ADC = 180°$$ $$∠ADC = 180° - 60° = 120°$$

По теореме косинусов для треугольника ADC:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{∠ADC}$$ $$26^2 = x^2 + y^2 - 2 \cdot x \cdot y \cdot \cos{120°}$$ $$676 = (y + 2)^2 + y^2 - 2 \cdot (y + 2) \cdot y \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$676 = y^2 + 4y + 4 + y^2 + y^2 + 2y$$ $$3y^2 + 6y + 4 - 676 = 0$$ $$3y^2 + 6y - 672 = 0$$ $$y^2 + 2y - 224 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-224) = 4 + 896 = 900$$ $$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-2 \pm 30}{2}$$ $$y_1 = \frac{-2 + 30}{2} = \frac{28}{2} = 14$$ $$y_2 = \frac{-2 - 30}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$

Так как сторона не может быть отрицательной, то y = 14.

$$x = y + 2 = 14 + 2 = 16$$

Ответ: 16 см и 14 см.