Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 4 см. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим третью сторону через \(c\), а медиану к ней — через \(m_c=4\) см. По теореме Аполлония:

\(m_c^2=\frac{2\cdot7^2+2\cdot9^2-c^2}{4}\).

Подставим длину медианы: \(16=\frac{98+162-c^2}{4}\). Тогда \(64=260-c^2\), откуда \(c^2=196\) и \(c=14\) см. Это допустимо: \(7+9>14\).

Ответ: 14 см.