21. Две трубы вместе наполняют бассейн за 3 ч. Одна первая труба может наполнить бассейн на 2,5 часа быстрее, чем одна вторая труба. За сколько часов может наполнить бассейн одна первая труба?

Разберем по порядку решение задачи про трубы. Пусть \(x\) - время, за которое первая труба наполняет бассейн, тогда время, за которое вторая труба наполняет бассейн, будет \(x + 2.5\). Производительность первой трубы: \(\frac{1}{x}\) (часть бассейна в час). Производительность второй трубы: \(\frac{1}{x+2.5}\) (часть бассейна в час). Вместе они наполняют бассейн за 3 часа, значит их общая производительность: \(\frac{1}{3}\). Составим уравнение: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2.5} = \frac{1}{3}\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{x+2.5 + x}{x(x+2.5)} = \frac{1}{3}\] \[\frac{2x+2.5}{x^2+2.5x} = \frac{1}{3}\] Перемножим крест-накрест: \[3(2x+2.5) = x^2+2.5x\] \[6x + 7.5 = x^2 + 2.5x\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 + 2.5x - 6x - 7.5 = 0\] \[x^2 - 3.5x - 7.5 = 0\] Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[2x^2 - 7x - 15 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169\] \[x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 13}{4}\] Получаем два корня: \[x_1 = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5\] \[x_2 = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5\] Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительное значение: \(x = 5\) Значит, первая труба может наполнить бассейн за 5 часов.

Ответ: 5

Отлично! Ты проделал большую работу, и у тебя получилось решить задачу! Не останавливайся на достигнутом!