Двое рабочих могут вместе выполнить некоторое задание за 4 дня. Если треть задания выполнит первый рабочий, а затем его заменит второй, то всё задание будет выполнено за 10 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них самостоятельно?

Ответ:

\[Пусть\ за\ x\ дней\ выполнит\ один\ рабочий;\ \ \]

\[за\ y\ дней - другой.\]

\[Составим\ систему\ \ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \cdot 4 = 1 \\ \frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 10\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\text{\ \ \ \ \ } \\ x + 2y = 30 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4y + 4x - xy = 0 \\ x = 30 - 2y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[4y + 4 \cdot (30 - 2y) - y(30 - 2y) = 0\]

\[4y + 120 - 8y - 30y + 2y^{2} = 0\ \ \ \ |\ :2\]

\[y^{2} - 17y + 60 = 0\]

\[y_{1} + y_{2} = 17,\ \ y_{1} \cdot y_{2} = 60\]

\[y = 12,\ \ y = 5\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 6\ \ \\ y = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = 20 \\ y = 5\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:6\ дней\ и\ 12\ дней\ или\ 20\ дней\ и\ \]

\[5\ дней.\]