5. Если АВ – хорда. Точка М лежит на прямой АВ вне окружности, АМ = 3, MB = 12, расстояние от точки М до центра окружности равно 10. Чему равен радиус окружности?

По теореме о секущей и касательной, если из точки вне окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. В данном случае, если MC - касательная, то $$MC^2 = AM \cdot MB$$.

Известно расстояние от точки M до центра окружности, обозначим его как MO = 10. Пусть радиус окружности равен R. Тогда, если точка M находится вне окружности, и MB - секущая, то применим теорему о секущей и касательной. Однако нам нужно выразить MC через MO и R. Прямая связь между MC, MO и R неочевидна.

Воспользуемся другой теоремой: квадрат расстояния от точки M до центра O равен сумме квадрата радиуса и произведения отрезков секущей: $$MO^2 = R^2 + AM \cdot MB$$.

Подставим известные значения: $$10^2 = R^2 + 3 \cdot 12$$

$$100 = R^2 + 36$$

$$R^2 = 100 - 36$$

$$R^2 = 64$$

$$R = \sqrt{64} = 8$$

Ответ: 8