6. e2x cosx + 1

Для нахождения производной функции $$f(x) = \frac{e^{2x}}{cos(x) + 1}$$ используем правило частного.

1. Производная $$e^{2x}$$ равна $$2 \cdot e^{2x}$$.
2. Производная $$cos(x) + 1$$ равна $$-sin(x)$$.

Тогда производная функции $$f(x) = \frac{e^{2x}}{cos(x) + 1}$$ равна $$\frac{2e^{2x}(cos(x) + 1) - e^{2x}(-sin(x))}{(cos(x) + 1)^2} = \frac{2e^{2x}cos(x) + 2e^{2x} + e^{2x}sin(x)}{(cos(x) + 1)^2} = \frac{e^{2x}(2cos(x) + 2 + sin(x))}{(cos(x) + 1)^2}$$.

Ответ: $$\frac{e^{2x}(2cos(x) + 2 + sin(x))}{(cos(x) + 1)^2}$$.