\( \frac{2}{1} - \frac{9}{4} : \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \right) + \frac{10}{9} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Начнём с вычисления выражения в скобках.
   \( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6} \).
2. Шаг 2: Теперь выполним деление.
   \( \frac{9}{4} : \left( -\frac{1}{6} \right) = \frac{9}{4} \cdot \left( -\frac{6}{1} \right) = -\frac{9 \cdot 6}{4 \cdot 1} = -\frac{54}{4} = -\frac{27}{2} \).
3. Шаг 3: Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение.
   \( \frac{2}{1} - \left( -\frac{27}{2} \right) + \frac{10}{9} \).
4. Шаг 4: Преобразуем выражение:
   \( 2 + \frac{27}{2} + \frac{10}{9} \).
5. Шаг 5: Приведём все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 1, 2 и 9 равен 18.
   \( \frac{2 \cdot 18}{18} + \frac{27 \cdot 9}{2 \cdot 9} + \frac{10 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{36}{18} + \frac{243}{18} + \frac{20}{18} \).
6. Шаг 6: Сложим числители.
   \( \frac{36 + 243 + 20}{18} = \frac{299}{18} \).

Ответ: \(\frac{299}{18}\)