679. Геометрическая прогрессия состоит из пятнадцати членов. Сумма первых пяти членов равна 11/64, а сумма следующих пяти членов равна -5 1/2. Найдите сумму последних пяти членов этой прогрессии.

• Пусть x₁ — первый член, q — знаменатель геометрической прогрессии.
• Сумма первых пяти членов: \( S_5 = \frac{x_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{11}{64} \)
• Сумма следующих пяти членов (с 6-го по 10-й): \( S_{6-10} = x_6 + x_7 + x_8 + x_9 + x_{10} = x_1q^5 + x_1q^6 + x_1q^7 + x_1q^8 + x_1q^9 = x_1q^5(1 + q + q^2 + q^3 + q^4) = x_1q^5 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q} = -5\frac{1}{2} = -\frac{11}{2} \)
• Разделим второе уравнение на первое: \( \frac{x_1q^5 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q}}{\frac{x_1(1 - q^5)}{1 - q}} = \frac{-\frac{11}{2}}{\frac{11}{64}} \)
• \( q^5 = -\frac{11}{2} \cdot \frac{64}{11} = -32 \)
• Сумма последних пяти членов (с 11-го по 15-й): \( S_{11-15} = x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} + x_{15} = x_1q^{10} + x_1q^{11} + x_1q^{12} + x_1q^{13} + x_1q^{14} = x_1q^{10}(1 + q + q^2 + q^3 + q^4) = x_1q^{10} \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q} \)
• \( S_{11-15} = x_1 (q^5)^2 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q} = q^{10} \cdot \frac{x_1(1 - q^5)}{1 - q} = (q^5)^2 \cdot S_5 \)
• \( S_{11-15} = (-32)^2 \cdot \frac{11}{64} = 1024 \cdot \frac{11}{64} = 16 \cdot 11 = 176 \)

Ответ: Сумма последних пяти членов прогрессии равна 176.