678. Сумму первых n членов последовательности (хₙ) можно найти по формуле Sₙ = 3/4(5ⁿ - 1). Докажите, что последовательность (хₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

• Сумма n первых членов: \( S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1) \).
• Выразим xₙ как разность между суммой n первых членов и суммой n-1 первых членов: \( x_n = S_n - S_{n-1} \)
• Тогда: \( x_n = \frac{3}{4}(5^n - 1) - \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1) \)
• \( x_n = \frac{3}{4}(5^n - 5^{n-1}) \)
• \( x_n = \frac{3}{4} \cdot 5^{n-1}(5 - 1) = \frac{3}{4} \cdot 5^{n-1} \cdot 4 = 3 \cdot 5^{n-1} \)
• Теперь найдем xₙ₊₁: \( x_{n+1} = 3 \cdot 5^n \)
• Найдём отношение \( \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3 \cdot 5^n}{3 \cdot 5^{n-1}} = 5 \)
• Так как это отношение постоянно (равно 5) и не зависит от n, то последовательность xₙ является геометрической прогрессией.
• Первый член: \( x_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \)

Ответ: Последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 5 и первым членом x₁ = 3.