677. В геометрической прогрессии (хₙ): a) q = -1/3, n = 5, Sₙ = 20 1/3; найдите x₁ и x₅; б) x₁ = 11, x₅ = 88, Sₙ = 165; найдите q и n; в) x₁ = 1/2, q = 1/2, Sₙ = 21/64; найдите n и xₙ; г) q = √3, xₙ = 18√3, Sₙ = 26√3 + 24; найдите x₁ и n.

a) q = -1/3, n = 5, Sₙ = 20 1/3; найдите x₁ и x₅

• Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( S_5 = 20 \frac{1}{3} = \frac{61}{3} \)
• Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q} \)
• Подставляем известные значения: \( \frac{61}{3} = \frac{x_1(1 - (-\frac{1}{3})^5)}{1 - (-\frac{1}{3})} \)
• Упрощаем выражение: \( \frac{61}{3} = \frac{x_1(1 + \frac{1}{243})}{1 + \frac{1}{3}} \)
• \( \frac{61}{3} = \frac{x_1(\frac{244}{243})}{\frac{4}{3}} \)
• \( x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{243}{244} = \frac{61 \cdot 4 \cdot 81}{4 \cdot 244} = \frac{81}{4} \)
• Получаем: \( x_1 = \frac{243}{244} \cdot \frac{4}{3} \)
• \( x_1 = \frac{61}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{243}{244} = \frac{61 \cdot 4 \cdot 81}{4 \cdot 244} = \frac{243}{4} \)
• \( x_1 = \frac{243}{4} = 60 \frac{3}{4} = 60.75 \)
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( x_n = x_1 \cdot q^{n-1} \)
• \( x_5 = 60.75 \cdot (-\frac{1}{3})^{5-1} \)
• \( x_5 = 60.75 \cdot (-\frac{1}{3})^4 \)
• \( x_5 = 60.75 \cdot \frac{1}{81} \)
• \( x_5 = \frac{60.75}{81} = \frac{6075}{8100} = \frac{243}{324} = \frac{3}{4} = 0.75 \)

Ответ: \( x_1 = 60.75 \), \( x_5 = 0.75 \)

б) x₁ = 11, x₅ = 88, Sₙ = 165; найдите q и n

• Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( x_n = x_1 \cdot q^{n-1} \)
• \( x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} \)
• \( 88 = 11 \cdot q^4 \)
• \( q^4 = \frac{88}{11} = 8 \)
• \( q = \sqrt[4]{8} = \sqrt{2\sqrt{2}} \)
• Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q} \)
• \( 165 = \frac{11(1 - (\sqrt[4]{8})^n)}{1 - \sqrt[4]{8}} \)
• \( 15 = \frac{1 - (\sqrt[4]{8})^n}{1 - \sqrt[4]{8}} \)
• \( 15(1 - \sqrt[4]{8}) = 1 - (\sqrt[4]{8})^n \)
• \( 15 - 15\sqrt[4]{8} = 1 - (\sqrt[4]{8})^n \)
• \( (\sqrt[4]{8})^n = 15\sqrt[4]{8} - 14 \)
• Решение для n в данном случае не может быть выражено в элементарных функциях, так как уравнение трансцендентное.

Ответ: \( q = \sqrt[4]{8} \), n - нельзя выразить в элементарных функциях.

в) x₁ = 1/2, q = 1/2, Sₙ = 21/64; найдите n и xₙ

• Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q} \)
• \( \frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} \)
• \( \frac{21}{64} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} \)
• \( \frac{21}{64} = 1 - (\frac{1}{2})^n \)
• \( (\frac{1}{2})^n = 1 - \frac{21}{64} = \frac{43}{64} \)
• \( n = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{43}{64}) = \frac{\ln(\frac{43}{64})}{\ln(\frac{1}{2})} \approx 0.56 \)
• Поскольку n не может быть дробным, то в условии ошибка.
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( x_n = x_1 \cdot q^{n-1} \)
• \( x_n = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \)
• \( x_n = (\frac{1}{2})^n \)

Ответ: n ≈ 0.56 (значение n не является целым числом, вероятно, в условии ошибка), \( x_n = (\frac{1}{2})^n \)

г) q = √3, xₙ = 18√3, Sₙ = 26√3 + 24; найдите x₁ и n.

• Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( x_n = x_1 \cdot q^{n-1} \)
• \( 18\sqrt{3} = x_1 \cdot (\sqrt{3})^{n-1} \)
• Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1} \)
• \( 26\sqrt{3} + 24 = \frac{x_1((\sqrt{3})^n - 1)}{\sqrt{3} - 1} \)
• Выразим x₁ из первого уравнения: \( x_1 = \frac{18\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{n-1}} \)
• Подставим это во второе уравнение: \( 26\sqrt{3} + 24 = \frac{\frac{18\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^{n-1}}((\sqrt{3})^n - 1)}{\sqrt{3} - 1} \)
• \( (26\sqrt{3} + 24)(\sqrt{3} - 1) = \frac{18\sqrt{3}((\sqrt{3})^n - 1)}{(\sqrt{3})^{n-1}} \)
• \( (26\sqrt{3} + 24)(\sqrt{3} - 1) = 18\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - 1) \)
• Упростим: \( 26 \cdot 3 - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 18 \cdot 3 - 18 \sqrt{3} \)
• \( 78 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - 18 \sqrt{3} \)
• \( 54 - 2\sqrt{3} = 54 - 18 \sqrt{3} \)
• \( 16\sqrt{3} = 0 \) - неверно, следовательно, что-то не так с условием.

Ответ: Решения нет, так как условие противоречиво.