Геометрия 8 класс. 1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6. АО = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; 6) AC: BD; B) SAOC: SHOD

1. Рассмотрим треугольники AОC и BOD.

∠A = ∠B (по условию), ∠AОC = ∠BOD (как вертикальные).

Следовательно, треугольники AОC и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия).

а) Так как треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$.

$$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$.

$$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$.

б) Отношение сторон AC к BD равно коэффициенту подобия:

$$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = \left(\frac{CO}{DO}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$.

Ответ: а) ОВ = 7.5; б) AC : BD = 2 : 3; в) SAOC : SBOD = 4 : 9